Clasificación de módulos sobre un dominio de Dedekind

[ES]Los dominios de Dedekind son anillos para los que se verifica la factorización única de ideales en ideales primos, que generalizan la propiedad de factorización única en irreducibles de los elementos de un dominio de ideales principales. Dedicamos esta memoria al estudio de las propiedades de los dominios de Dedekind y a la exposición del Teorema de Clasificación de los módulos finitamente generados sobre este tipo de anillos, extendiendo la clasificación conocida para dominios de ideales principales. Un tipo particular de dominios de Dedekind son los anillos de valoración discreta, que también se tratarán en la memoria. Para abordar una demostración auto contenida del Teorema de Clasificación general, estudiaremos como paso intermedio el problema de clasificación de módulos finitamente generados sobre anillos de valoración discreta[EN]Dedekind domains are rings for which the unique factorization of ideals into prime ideals is satisfied, which generalize the irreducible unique factorization property for elements in a principal ideal domain. We devote this memory to the study of the properties of Dedekind domains and the exposition of the Classification Theorem of finitely generated modules on this type of rings, extending the well-known classification for domains of principal ideals. A particular type of Dedekind domains are discrete valuation rings that are also discussed in this work. To give a self-contained proof of the Classification Theorem, we will study as an intermediate step the problem of classifying finitely generated modules on discrete valuation ringTraballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2019-202

Álgebra conmutativa. Grado en Matemáticas

El presente manual está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Álgebra Conmutativa, del segundo curso del Grado en Matemáticas de la UEX. Introducimos estructuras básicas del Álgebra como las de grupo, anillo y módulo, herramientas fundamentales como el cociente de un grupo por un subgrupo, cociente de un anillo por un ideal, cociente de un módulo por un submódulo y la localización de un anillo o un módulo por un sistema multiplicativo. El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).This manual is conceived by the author as the manual of the subject Commutative Algebra, of the second course of the Degree in Mathematics of the UEX. We introduce basic structures of Algebra such as group, ring and module, fundamental tools such as the quotient of a group to a subgroup, the quotient of a ring to an ideal, the quotient of a module to a submodule and the location of a ring or module for a multiplicative system. The manual is divided into four themes. In each topic we include a questionnaire, a list of problems (with their solutions) and the biography of a relevant mathematician (in English)

Teoremas de estructura de módulos y anillos con condiciones de finitud

La teoría multiplicativa de ideales, más generalmente, el estudio de los módulos de multiplicación, esta ligado a diversos campos del algebra, como la teoría de números y la geometría algebraica. Los módulos de multiplicación son una nexo entre otras familias importantes de módulos como son los noetherianos y los hopfianos. Este trabajo es una primera aproximación a esas relaciones. Estudiamos aplicaciones del teorema de estructura de módulos noetherianos y artinianos, usándolo para construir demostraciones alternativas sobre grupos abelianos noetheriano (finitamente generado), grupos abelianos artinianos y grupos abelianos de multiplicación. Paralelamente hablaremos de la estructura y propiedades de los anillos noetherianos y artinianos y los anillos noetherianos de multiplicación. El primer capítulo consiste en una relación de resultados básicos que van a permitir el trabajo posterior. En el segundo se establece el marco principal de juego, demostrando los resultados que habilitan las demostraciones posteriores, entre los que están el propio teorema de estructura de módulos noetherianos y artinianos. Por último, en el tercero y el cuarto construimos los teoremas de estructura que antes mencionábamos. El capitulo más interesante del trabajo, es el que trata de la estructura de los grupos abelianos noetherianos y artinianos. En el caso noetheriano, la mayoría de pruebas se hacen a través del teorema de estructura de D.I.P. con teoría de matrices, nosotros abordamos otro enfoque usando el teorema de estructura de módulos noetherianos. Por otro lado, en el caso artiniano, el resultado, en general, es poco conocido, además en pocos textos se detalla en profundidad. En el trabajo hemos hecho una demostración con ideas tradicionales y nuevas. Abstract: Multiplicative theory of ideals, more generally multiplication modules study, is linked to several algebra areas, as number theory and algebraic geometry. Multiplication modules are a nexus between other important families of modules like are the Noetherian and the Hopfian. This work is a first aproximation to this relations. We will study applications of the Noetherian and Artinian modules structure theorem, using in order to build alternatives demostrations over abelians Noetherian groups (finitly generated), abelian Artinian groups and abelians multiplications groups. In parallel we will talk about the structure and properties of Noetherian and Artinian rings and Noetherian multiplication rings. The first chapter is an accout of basic results that will allow the later work. The second one establishes the main framework, prouving the Noetherian and Artinian modules structure theorem. Finally, on the third and fourth ones we will build the structure theorem that we mentioned previously. The most interesting chapter of this work, is the one about the structure of Abelian Artinian and Noetherian groups. In Noetherian case, most proofs are done using the structure theorem of P.I.D with matix theory, we deal it with other appoach using the Noetherian mosules structure theorem. On the other hand, in Artinian case, the result, in general, is widely unknown, furthermore in a few text is detailed in depth. On the work we have done a original demostration with traditionals and new ideas

Serre’s Ex-Conjeture: Quillen-Suslin Theorem

RESUMEN: Este trabajo se dedica a explorar y presentar una de las famosas conjeturas de J. P. Serre, planteadas en la década de 1950, y la respuesta afirmativa que D. Quillen y A. A. Suslin dieron a dicha conjetura en 1976. Este resultado afirma que para módulos finitamente generados sobre anillos de polinomios con coeficientes en un dominio de ideales principales, las condiciones de módulo proyectivo y libre son equivalentes. Antes de mostrar la prueba de la ex-conjetura de Serre, vamos a introducir el concepto de propiedades locales, cuyo estudio contextualiza esta conjetura, así como algunos resultados instrumentales que son clave en la demostración. Uno de estos es el llamado Teorema de Quillen-Suslin, el cual constituye la pieza final que llevó a Quillen y a Suslin a resolver la conjetura de Serre. El principal objetivo de este trabajo es dar la prueba de Quillen del Teorema de Quillen-Suslin. Para concluir, presentaremos una aplicación de la ex-conjetura de Serre, con el propósito de mostrar que este abstracto resultado ha tenido una cierta trascendencia en el desarrollo posterior de las Matemáticas, especialmente de la Geometría Algebraica.ABSTRACT: This work is devoted to explore and present one of J. P. Serre’s famous conjectures, proposed in the decade of 1950, and the affirmative answer that D. Quillen and A. A. Suslin gave to this conjecture in 1976. This result states that for finitely generated modules over polynomial rings with coefficients in a principal ideal domain, the conditions of projective and free module are equivalent. Before showing the proof of Serre’s ex-conjecture, we will introduce the concept of local properties, whose study constitutes the context of this conjecture, as well as some instrumental theorems that are key in the proof. One of these is the so called Quillen-Suslin Theorem, and constitutes the final piece that led Quillen and Suslin to the solution of Serre’s conjecture. The main goal of this work is to give Quillen’s proof of Quillen-Suslin Theorem. Finally, we will present an application of Serre’s ex-conjeture, in order to show that this abstract result has had a certain trascendence in the posterior development of Mathematics, particularly in Algebraic Geometry.Grado en Matemática

Teoría de números. Grado en Matemáticas

El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de la UEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especial énfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemos que los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un curso de Variedades Algebraicas (Álgebra II). El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).The present text is conceived by the author as the manual of the quarterly subject Theory of Numbers, the fourth course of the degree of Mathematics of the UEX. This course is an introduction to the theory of numbers and we make a special emphasis on the relationship of this theory with the theory of algebraic curves. We assume that the students have completed before a course of Galois theory (Algebra I) and a course of algebraic varieties (Algebra II). The manual is divided into four themes. In each issue we include a questionnaire, a list of problems (with their solutions) and the biography of a mathematician relevant (in English)

Representación de números primos mediante formas cuadráticas

The well-known seventeenth century mathematician Pierre de Fermat left some interesting results on integers and how to represent them as sums of powers – all of them unproved. In this dissertation we study the following problem: given an integer n, which prime numbers p can be expressed in the form p = x 2 + ny2, where x and y are integers? We will start with some basic notions of algebraic number theory, such as the ring of integers of a number field. Then, we will move forward to unique factorization of ideals and Dedekind domains, using the class number of a number field to help us look at a specific direction: rings of algebraic integers which are principal ideal domains. We will close this dissertation by following the theory presented here and giving some examples of primes being expressed as the problem states.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Cálculo explícito de Elementos de Frobenius en Grupos de Galois

In the XIX century David Hilbert proposed a problem in Galois Theory that remains unanswered today, “Every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers” A related question that arose as result of it is if, given a finite group G, we can nd families of parametric polynomials with coefficients in ℚ whose finite Galois extension K/∕ℚ has its Galois group isomorphic to G for almost every value of the parameters. The goal of this dissertation is, given a known family of parametric polynomials fa(x) with Galois group G and K its splitting field over ℚ for some value of a, take a prime p ∈ ℚ that doesn’t ramify in the Galois extension K/∕ℚ and find the associated Frobenius element Frobenius element Frobp which meets Frobp (x) ≡ xp mod p for all integral x in K and p prime ideal in the ring of integers of K such that p ∩ ℤ matches the ideal generated by p. To reach this objective we have to elaborate the results on Dedekind domains and ideal ramification leading to the definition of the Frobenius element. Once the groundwork is laid we proceed to expound the method of the Dokchitser brothers for the identification of the element for almost every prime ideal p. We will see that it suffices to check if Γc (Tr Fq [x] / fa (x) / Fq (ℎ(x)x p)) = 0 mod p Then we would have Frobp ∈ C, where C is a conjugacy class of G and Γc a polynomial that we will define in section 2.2. We will also make some examples applying the previous procedure as well as add in theorems such as Chevotarev’s Density theorem that will widen our conlclusions.En el siglo XIX David Hilbert propuso un problema en teoría de Galois que sigue sin tener respuesta a día de hoy, “Todo grupo finito es el grupo de Galois de alguna extensión de los numeros racionales” Una pregunta relacionada que surgió a raíz de ello es si, dado un grupo finito G, podemos encontrar familias de polinomios paramétricos con coeficientes en ℚ cuya extensión finita de Galois K∕ℚ tenga su grupo de Galois isomorfo a G para casi todos los valores de los parámetros. El objetivo de este trabajo es, dada una familia conocida de polinomios paramétricos fa(x) con grupo de Galois G y K su cuerpo de descomposición sobre ℚ para algún valor de a, tomar un primo p ∈ ℚ que no ramifique en la extensión de Galois K/ℚ y encontrar el elemento de Frobenius Frobp asociado que cumple Frobp (x) ≡ xp mod p para todo x íntegro en K y p ideal primo del anillo de enteros de K tal que p ∩ ℤ coincide con el ideal generado por p. Para lograr este objetivo tenemos que desarrollar resultados sobre dominios de Dedekind y ramificación de ideales que nos llevarán a la definición del elemento de Frobenius. Una vez sentadas estas bases procederemos a explicar el método de los hermanos Dokchitser para la identificación del elemento para casi todo ideal primo p. Veremos que nos basta comprobar si Γc (Tr Fq [x] / fa (x) / Fq (ℎ(x)x p)) = 0 mod p, entonces tendríamos que Frobp ∈ C. Siendo C una clase de conjugación de G y Γc un polinomio para cada clase que definiremos en la sección 2.2. Realizaremos también algún ejemplo para aplicar el procedimiento anterior además de añadir algún teorema como el teorema de Densidad de Chevotarev que ampliarán las conclusiones que podremos obtener.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Teoría de números. Grado en Matemáticas

El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de la UEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especial énfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemos que los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un curso de Variedades Algebraicas (Álgebra II). El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).The present text is conceived by the author as the manual of the quarterly subject Theory of Numbers, the fourth course of the degree of Mathematics of the UEX. This course is an introduction to the theory of numbers and we make a special emphasis on the relationship of this theory with the theory of algebraic curves. We assume that the students have completed before a course of Galois theory (Algebra I) and a course of algebraic varieties (Algebra II). The manual is divided into four themes. In each issue we include a questionnaire, a list of problems (with their solutions) and the biography of a mathematician relevant (in English)

De los grupos y cuerpos como “herramientas” a “objetos” matemáticos

El presente trabajo contiene un estudio histórico sobre la constitución como objetos del Álgebra Moderna de las nociones de Grupo y Cuerpo. Los momentos centrales de esta historia, se hallaron en la exposición de los sucesos relacionados con la emergencia y evolución histórica de dichos objetos; los aportes de Dedekind y Emmy Noether en la consolidación de una teoría coherente; y el análisis de los contenidos, los prólogos y algunas definiciones encontradas en los libros de textos: Lehrbuch der Algebra de Heinrich Weber y Modern Álgebra de B. Van der Waerde

Álgebra conmutativa. Geometría algebraica

El presente manual está concebido como texto de referencia para los estudiantes del Grado de Matemáticas de la UEX, en las asignaturas de Álgebra: Álgebra Conmutativa, Álgebra I, Álgebra II Teoría de Números. Incluye diversos temas de Álgebra y Geometría Algebraica para alumnos de máster y doctorado, y sirve también como manual de apoyo a los profesores del área de Álgebra.This manual is designed as a reference text for the students of the degree of Mathematics of the UEX, in the subjects of Algebra: Commutative Algebra, Algebra I, Algebra II Theory of Numbers. Includes various topics of Algebra and Algebraic Geometry for students of master and doctorate, and also serves as a manual of support for teachers in the area of algebra